Question

9．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，點(diǎn)P是AB上一個動點(diǎn)．
（1）當(dāng)AP=3時，△DAP與△CBP相似嗎？請說明理由．
（2）求PD+PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知∠A=∠B=90°，AP=3，PB=4，故此$\frac{AP}{AD}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$，從而可證明△DAP與△CBP相似；
（2）作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，連接D′C交BA于點(diǎn)P．過點(diǎn)D′作D′E⊥BC，垂足為E．依據(jù)勾股定理求得D′C的長即可．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠BAD=90°．
∴∠A=∠B=90°．
∵AP=3，AB=7，
∴PB=4．
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{PB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{BP}{BC}$．
∴△DAP∽△CBP．
（2）如圖所示：點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，連接D′C交BA于點(diǎn)P，過點(diǎn)D′作D′E⊥BC，垂足為E．

∵點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于AB對稱，
∴PD=D′P．
∴PD+PC=D′P+PC=D′C．
在Rt△D′EC中，由勾股定理得：D′C=$\sqrt{D′{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+1{4}^{2}}$=7$\sqrt{5}$．
∴PD+PC的最小值為7$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的相似三角形的判定、軸對稱最短路徑問題，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．