Question

16．Rt△ABC中，∠ABC=15°，∠BAC=90°，以BC為斜邊向A同側作等腰直角△BDC交AB于E，若BC=$\sqrt{6}$，求S_△BEC．

Answer 1

分析 過E作EF⊥BC，交BC于點F，在直角三角形BDC中，由BC的長求出DB與DC的長，由三角形DCB為等腰直角三角形，由∠DBC-∠ABC求出∠DBA的度數(shù)，在直角三角形BDE中，設DE=x，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到BE=2x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出DC的長，由DC-DE求出EC的長，在等腰直角三角形ECF中，求出EF的長，由BC為底邊，EF為高，求出三角形BEC面積即可

解答 解：過E作EF⊥BC，交BC于點F，
在Rt△BDC中，BC=$\sqrt{6}$，
根據(jù)勾股定理得：DB=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵△DCB為等腰直角三角形，∠ABC=15°，
∴∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°-15°=30°，
在Rt△BED中，BD=，∠DBE=30°，
設DE=x，則有BE=2x，
根據(jù)勾股定理得：BE²=BD²+DE²，即4x²=3+x²，
解得：x=1，
∴EC=DC-DE=$\sqrt{3}$-1，
∵△EFC為等腰直角三角形，
∴EF=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{3}$-1）=$\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則S_△BEC=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題考查了勾股定理，含30度直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質，以及三角形面積求法，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．