Question

閱讀理解：
兩個三角形中有一個角相等或互補，我們稱這兩個三角形是共角三角形，這個角稱為對應(yīng)角．
（1）根據(jù)上述定義，判斷下列結(jié)論，正確的打“√”，錯誤的打“×”．
①三角形一條中線分成的兩個三角形是共角三角形

 

②兩個等腰三角形是共角三角形

 

【探究】
（2）如圖1，在△ABC與△DEF中，設(shè)∠ABC=α，∠DEF=β
①當(dāng)α=β=90°  時，顯然可知：

S△ABC

S△DEF

=

AB•BC

DE•EF

②當(dāng)α=β≠90° 時，亦可容易證明：

S△ABC

S△DEF

=

AB•BC

DE•EF

③如圖2，當(dāng)α+β=180°（α≠β）時，上述的結(jié)論是否還能成立？若成立，請證明；若不成立，請舉反例說明．
【歸納】
（3）針對上述探究，請你寫出一個關(guān)于共角三角形的結(jié)論：

 

．
【應(yīng)用】
（4）如圖3，⊙O中的弦AB、CD所對的圓心角分別是72°、108°，記△OAB與△OCD的面積分別為S₁，S₂，請寫出S₁與S₂滿足的數(shù)量關(guān)系

 

．
（5）如圖4，?ABCD的面積為2，延長?ABCD的各邊，使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，則四邊形EFGH的面積為

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)共角三角形的定義，可得答案；
（2）根據(jù)同角的補角相等，可得：∠ABM=∠E，根據(jù)相似三角形的判定，可得△ABM∽△DEN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)邊的比相等，可得證明的結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）證明的結(jié)論，可得答案；
（4）根據(jù)共角三角形面積的關(guān)系，可得答案；
（5）根據(jù)共角三角形面積的關(guān)系，可得共角三角形的面積，根據(jù)面積的和差，可得答案．．

解答：解：（1）①對  ②錯；
（2）③證明：方法一：
過A作AM⊥BC交BC的延長線于點M、過D作DN⊥EF于點N，
∴∠AMB=∠DNE=90°
又∵∠ABM+α=β+α=180°
∴∠ABM=β
即：∠ABM=∠E
∴△ABM∽△DEN
∴

AM

DN

=

AB

DE

，
∴

S△ABC

S△DEF

=

1 2 AM•BC

1 2 DN•EF

=

AM

DN

•

BC

EF

=

AB

DE

•

BC

EF

=

AB•BC

DE•EF

；
（3）共角三角形的面積比等于對應(yīng)角兩邊的乘積之比；   
（4）∵△OAB與△OCD是共角三角形，
∴

S△OAB

S△OCD

=

S1

S2

=

OA•OB

OC•OD

=1，
S₁=S₂；
（5）如圖：

四邊形ABCD的面積為2，
SABC=SADC=SBAD=SBCD=1，
使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，
由共角三角形的面積比等于對應(yīng)角兩邊的乘積之比得

S△BEF

S△ABC

=

BE•BF

AB•BC

=

AB•3BC

AB•BC

=3，S_△BEF=3，

S△GCF

S△BCD

=

CG•CF

CB•CD

=

3CD•2BC

CD•BC

=6，S_△GCF=6，

S△HDG

S△ADC

=

DG•DH

DA•DC

=

2CD•4AD

DC•DA

=8，S_△DGH=8，

S△AHE

S△ADB

=

AH•AE

AD•AB

=

3AD•2AB

AD•AB

=6，S_△AHE=6，
S_EFGH=S_△BEF+S_△GCF+S_△DGH+S_△AHE+S_ABCD
=3+6+8+6+2=25，
 故答案為：對，錯，共角三角形的面積比等于對應(yīng)角兩邊的乘積之比，S₁=S₂，25．

點評：本題考查了圓的綜合題，共角三角形的面積之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．