Question

13．我們把自變量為x的函數(shù)記為f（x），對于函數(shù)f（x）的自變量取值范圍內(nèi)的任意一個x、都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函數(shù)，對于函數(shù)f（x）的自變量取值范圍內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫做奇函數(shù)．
（1）對于反比例函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$，判斷它是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，并說明理由
（2）已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x（x≥0）}\\{a{x}^{2}+bx+c（x＜0）}\end{array}\right.$是奇函數(shù)，求常數(shù)a，b，c的值
（3）已知直線y=x+m與（2）中函數(shù)圖象恰好有一個交點(diǎn)，求常數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）由于f（-x）=-$\frac{2}{x}$=-f（x），則根據(jù)新定義可判斷反比例函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$是奇函數(shù)；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義得到f（-x）=-f（x）=-（x²-2x）=-x²+2x，于是得到自變量為-x的函數(shù)關(guān)系式為f（-x）=-（-x）²-2（-x），所以當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)關(guān)系式為f（x）=-x²-2x，從而得到a、b、c的值；
（3）先畫出大致圖象，如圖，討論：當(dāng)x≥0時(shí)，利用方程x²-2x=x+m有相等實(shí)數(shù)解得到m=-$\frac{9}{4}$，則根據(jù)圖象可得當(dāng)m＜-$\frac{9}{4}$時(shí)，直線y=x+m與（2）中函數(shù)圖象恰好有一個交點(diǎn)；當(dāng)x＜0時(shí)，利用方程-x²-2x=x+m有相等實(shí)數(shù)解得m=$\frac{9}{4}$，則利用圖象得到當(dāng)m＞$\frac{9}{4}$時(shí)，直線y=x+m與（2）中函數(shù)圖象恰好有一個交點(diǎn)．

解答 解：（1）反比例函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$是奇函數(shù)．理由如下：
∵f（-x）=$\frac{2}{-x}$=-$\frac{2}{x}$=-f（x），
∴反比例函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$是奇函數(shù)；
（2）∵x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x，
而函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）=-（x²-2x）=-x²+2x，
∵f（-x）=-（-x）²-2（-x），
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²-2x，
∴a=-1，b=-2，c=0；
（3）如圖，當(dāng)x≥0時(shí)，方程x²-2x=x+m有相等實(shí)數(shù)解，直線y=x+m與拋物線y=x²-2x（x≥0）只有一個公共點(diǎn)，即3²+4m=0，解得m=-$\frac{9}{4}$，所以當(dāng)m＜-$\frac{9}{4}$時(shí)，直線y=x+m與（2）中函數(shù)圖象恰好有一個交點(diǎn)；
當(dāng)x＜0時(shí)，方程-x²-2x=x+m有相等實(shí)數(shù)解，直線y=x+m與拋物線y=-x²-2x（x＜0）只有一個公共點(diǎn)，即3²-4m=0，解得m=$\frac{9}{4}$，所以當(dāng)m＞$\frac{9}{4}$時(shí)，直線y=x+m與（2）中函數(shù)圖象恰好有一個交點(diǎn)，
綜上所述，m的范圍為m＞$\frac{9}{4}$或m＜-$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：通過閱讀理解新定義且會應(yīng)用新定義；會把拋物線與直線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況的問題；會利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．