Question

1．如圖，AC是⊙O的弦，AD經(jīng)過圓心O，交⊙O于點B，直線CD與⊙O相切，∠CAD=30°．
（1）求證：AD=3AO．
（2）若⊙O半徑為5，求陰影部分的周長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質(zhì)可知OC⊥CD，從而可知△OCD為直角三角形，由圓周角定理可求得∠COB=60°，從而可求得∠D=30°，利用含30°直角三角形的性質(zhì)可求得OD=2OC，從而可求得AD=3AO；
（2）由（1）可知BD=5，可求得CD=5$\sqrt{3}$，然后利用扇形的弧長公式可求得弧BC的長度即可．

解答 解：（1）連接OC

∵CD切⊙O于點C，
∴OC⊥CD，OC為⊙O半徑．
∴∠OCD=90°．
∵∠CAD=30°，
∴∠COB=60°．
∴∠D=30°．
∴OD=2OC．
∴AD=OA+OD=3AO．
（2）∵AD=3AO，AO=5，
∴BD=AD-AB=5．
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{C}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，DC=5$\sqrt{3}$，
l=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{60π×5}{180}$=$\frac{5}{3}π$．
∴陰影部分的周長為：5$\sqrt{3}$+5+$\frac{5}{3}π$．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、扇形的弧長公式的應(yīng)用，求得∠COB=60°、∠D=30°是解題的關(guān)鍵．