Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=120°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為2或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用分類討論，當∠APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，易得∠PBA=30°，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出結論；情況二：利用銳角三角函數(shù)得AP的長；如圖2，當∠BAP=90°時，如圖3，利用銳角三角函數(shù)得AP的長．

解答 解：當∠APB=90°時，分兩種情況討論，
情況一：如圖1，
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOP=60°，
∴△AOP為等邊三角形，
∴∠OAP=60°，
∴∠∠PBA=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=2；
情況二：如圖2，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=BO，
∵∠AOC=120°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP為等邊三角形，
∴∠OBP=60°，
∴AP=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
當∠BAP=90°時，如圖3，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOP=60°，
∴AP=OA•tan∠AOP=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2或2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，利用分類討論，數(shù)形結合是解答此題的關鍵．