Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k1

x

的圖象與一次函數(shù)y=k₂x+b的圖象交于A（2，1），B（-1，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）在直線(xiàn)AB上是否存在一點(diǎn)P，使△APO∽△AOB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（可直接引用的公式：已知兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），兩點(diǎn)距離公式為：|P1P2|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

）

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由y=

k1

x

經(jīng)過(guò)A（2，1），可求得反比例函數(shù)的解析式，繼而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）首先假設(shè)存在一點(diǎn)P，使△APO∽△AOB，由點(diǎn)P在直線(xiàn)y=x-1上，可設(shè)點(diǎn)P（a，a-1），然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與兩點(diǎn)間的距離公式，組成方程組，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵y=

k1

x

經(jīng)過(guò)A（2，1），
∴1=

k1

2

，k₁₌2，
∴反比例函數(shù)關(guān)系式為y=

2

x

，
∵B（-1，n）在y=

2

x

上，
∴n=-2…（2分）
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-2）．
又∵y=k₂x+b經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴

2k2+b=1 -k2+b=-2

，
解得：

k2=1 b=-1

，
∴一次函數(shù)的關(guān)系式為y=x-1；

（2）在直線(xiàn)AB上存在點(diǎn)P，能使△APO∽△AOB．
假設(shè)存在一點(diǎn)P，使△APO∽△AOB，
∵點(diǎn)P在直線(xiàn)y=x-1上，
∴可設(shè)點(diǎn)P（a，a-1），…（6分）
∵△APO∽△AOB，
∴

AP

AO

=

AO

AB

，
即：AP=

AO

AB

2…①…（7分）
由兩點(diǎn)距離公式可得：AO=

22+12

=

5

，AB=

32+32

=3

2

，AP²=（2-a）²+[1-（a-1）]²；
代入①式得：(

( 5 )2

3 2

)2=(2-a)2+[1-(a-1)]2，
即(2-a)2=

25

36

，…（11分）
∴a-2=±

5

6

，a=

7

6

，或a=

17

6

…（12分）
經(jīng)檢驗(yàn)a=

17

6

不合題意，舍去 …（13分）
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7

6

，

1

6

)．…（14分）
∴存在點(diǎn)P，使△APO∽△AOB，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7

6

，

1

6

)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．