Question

【題目】拋物線經過點E（5，5），其頂點為C點．

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出C點坐標．

（2）將直線沿y軸向上平移b個單位長度交拋物線于A、B兩點．若∠ACB=90°，求b的值．

（3）是否存在點D（1，a），使拋物線上任意一點P到x軸的距離等于P點到點D的距離？若存在，請求點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，頂點（1，1）（2）（3）（1，2）

【解析】

（1）將點E坐標代入解析式，求出系數a，獲得解析式，并求出頂點C坐標；

（2）平移直線y=，獲得平移后的解析式y=，直線與拋物線交于兩點A、B，設A（x1，y1）、B（x2，y2），因為∠ACB=90°，利用A、B、C三點構造相似，得到，將直線與拋物線聯(lián)立獲得方程，根據韋達定理，獲得x1+x2，x1x2，從而獲得關于b的方程，求出b值；

（3）過點P作PQ⊥x軸，設點P（m，）因為PQ=PD，所以PQ2=PD2，整理可得，所以當a=2時，存在點D（1，2）．

（1）將點E（5，5）代入y=ax2-+

5=25a-+

a=

∴y=，頂點（1，1）

（2）直線y=平移后獲得解析式y=

交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）

y1=，y2=

聯(lián)立

x2-4x+5-4b=0

∴x1+x2=4，x1x2=5-4b

如圖，過點A、B作y軸的平行線與過點C平行于x軸的線交于點E，F

可證△ACE∽△BCF

∴=

∴（x1+x2）-（x1x2）-1=y1y2-（y1+y2）+1

∴b2-5b+=0，

解，b1=，b2=（舍）

∴b=．

（3）設P（m，n），作PQ⊥x軸于Q

若PQ=PD，則PQ2=PD2

（m-1）2+（n-a）2=n2

整理得

m2-2m+1+a2-2an=0

將n=代入

整理得

當a=2時，方程成立

∴D（1，2）