Question

（2010•崇左）如圖，平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，）兩點，點C為線段AB上的一動點，過點C作CD⊥x軸于點D．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=，求點C的坐標；
（3）在第一象限內是否存在點P，使得以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，）兩點，所以可設y=kx+b，將A、B的坐標代入，利用方程組即可求出答案；
（2）因為點C為線段AB上的一動點，CD⊥x軸于點D，所以可設點C坐標為（x，x+），那么OD=x，CD=x+，利用梯形的面積公式可列出關于x的方程，解之即可，但要注意x的取值；
（3）因為∠AOB=90°，所以以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似需分情況探討：
當∠OBP=90°時，如圖
①若△BOP∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，P₁（3，）．
②若△BPO∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1，P₂（1，）．
③過點P作OP⊥BC于點P，此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°，OP=BP，過點P作PM⊥OA于點M，∠OPM=30°，OM=OP，PM=OM，從而求得P的坐標．
④若△POB∽△OBA，則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°，所以PM=OM，P₄（，）；當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
解答：解：（1）設直線AB解析式為：y=kx+b，
把A，B的坐標代入得k=-，b=
所以直線AB的解析為：y=x+．

（2）方法一：設點C坐標為（x，x+），那么OD=x，CD=x+．
∴S_梯形OBCD==x．
由題意：x=，
解得x₁=2，x₂=4（舍去），
∴C（2，）（1分）
方法二：∵，S_梯形OBCD=，∴．
由OA=OB，得∠BAO=30°，AD=CD．
∴S_△ACD=CD×AD==．可得CD=．
∴AD=1，OD=2．∴C（2，）．

（3）當∠OBP=90°時，如圖

①若△BOP∽△BAO，
則∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴P₁（3，）．（2分）
②若△BPO∽△BAO，
則∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1．
∴P₂（1，）．（1分）
當∠OPB=90°時
③過點P作OP⊥BA于點P（如圖），
此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
過點P作PM⊥OA于點M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=OB=，
OP=BP=．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=OP=；PM=OM=．∴P₃（，）．
方法二：設P（x，x+），得OM=x，
PM=x+，
由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM==，tan∠ABO==．
∴x+=x，解得x=．此時P₃（，）．
④若△POB∽△OBA（如圖），
則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30度．
∴PM=OM=．
∴P₄（，）（由對稱性也可得到點P₄的坐標）．
當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
綜合得，符合條件的點有四個，分別是：P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），P₄（，）．
點評：本題綜合考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和相似三角形的有關知識，解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結合、方程和轉化等數(shù)學思想方法．