Question

如圖，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，CE=BF，連接AD交EF于點(diǎn)O，猜想O為哪些線段的中點(diǎn)？請選擇其中一種結(jié)論證明．

Answer 1

解：點(diǎn)O為AD、EF、BC的中點(diǎn)．
證明：連接AF，DE，
∵CE=BF，
∴CE+EF=BF+EF，
∴CF=BE．
在△AEB和△DFC中，
BE=CF，
∠AEB=∠CFD=90°，
AB=CD，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴AE=DF．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四邊形AEDF為平行四邊形．
∴點(diǎn)O為AD、EF的中點(diǎn)．
又∵CE=BF，
∴BO=CO，
∴點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)．
故點(diǎn)O為AD、EF、BC的中點(diǎn)．
分析：由于AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，則△AEB和△DFC是直角三角形，根據(jù)HL即可證明△AEB≌△CFD，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形ARDF為平行四邊形．由平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)O為AD、EF、BC的中點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．