Question

（2013•本溪三模）已知，AC是正方形ABCD的對角線，一個直角三角尺按如圖所示方式放置，該三角尺的直角頂點E始終在AC上，一條直角邊與AD相交于點F，另一條直角邊與CD交于點G．
（1）如圖1，當點E是AC的中點時，猜想EF與EG的數量關系并說明理由．
（2）①如圖2，把（1）中的三角尺沿CA方向平移，當點E是AC的三等分點時，猜想EF與EG的數量關系并說明理由．
②圖2中的正方形改為矩形，如圖3，其他條件不變．①中的結論還成立嗎？如果成立，請證明．如果不成立，請直接寫出當∠ACD=30°時，EF與EG的數量關系．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接ED，根據正方形的性質證明△AFE≌△DGE，就可以得出EF=EG；
（2）如圖2，作EM⊥AD于M，EN⊥CD于N，可以得出四邊形MEND是矩形，就有EN=MD，由正方形的性質可以得出EM=AM，通過證明△EMF∽△ENG就可以得出結論；
（3）如圖3，作EM⊥AD于M，EN⊥CD于N，可以得出四邊形MEND是矩形，但EM≠AM，由△EMF∽△ENG就有

EF

EG

=

EM

EN

≠

1

2

，當∠ACD=30°時，EM=

1

3

CD，設AM=a，則EM=

3

a，MD=EG=2a，CD=3

3

a，就可以求出結論．

解答：解：（1）EF=EG
理由：如圖1，連接ED．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，∠FAE=45°．
∵E是AC的中點，
∴ED=AE=

1

2

AC，∠EDG=45°，∠AED=90°．
∴∠FAE=∠GDE．
∵∠FEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG．
在△AFE和△DGE中，

∠FAE=∠GDE AE=DE ∠AEF=∠DEG

，
∴△AFE≌△DGE（ASA），
∴EF=EG．

（2）EF=

1

2

EG
理由：如圖2，作EM⊥AD于M，EN⊥CD于N，
∴∠EMD=∠EMA=∠EGD=90°．
∴EM∥CD．
∵∠D=90°，
∴四邊形MEND是矩形，
∴MD=EN．
∵∠EAF=45°，
∴∠AEM=45°，
∴∠EAF=∠AEM，
∴AM=EM．
∵E是AC的三等分點，
∴

AE

CE

=

1

2

．
∵EM∥CD，
∴

AM

MD

=

AE

EC

=

1

2

．
∴

EM

EN

=

1

2

∵∠FEM+∠MEG=∠FEG=90°，∠MEG+∠GEN=90°，
∴∠FEM=∠GEN．
∵∠EMF=∠ENG，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

=

1

2

，
∴EF=

1

2

EG；

（3）如圖3，作EM⊥AD于M，EN⊥CD于N，
∴∠EMD=∠EMA=∠EGD=90°．
∴EM∥CD．
∵∠D=90°，
∴四邊形MEND是矩形，
∴MD=EN．
∵E是AC的三等分點，
∴

AE

CE

=

1

2

．
∵EM∥CD，
∴

AM

MD

=

AE

EC

=

1

2

．
∵EM≠AM，
∴

EM

EN

≠

AE

EC

，
∴

EM

EN

≠

1

2

．
∵∠FEM+∠MEG=∠FEG=90°，∠MEG+∠GEN=90°，
∴∠FEM=∠GEN．
∵∠EMF=∠ENG，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

，
∴

EF

EG

≠

1

2

，
故①的結論不成立；
當∠ACD=30°時，EF=

3

2

EG．
理由：
∵E是AC的三等分點，
∴

AE

CE

=

1

2

．
∵EM∥CD，
∴∠AEM=∠ACD=30°，

AM

MD

=

AE

EC

=

1

2

．
∴AE=2AM，
設AM=a，
∴AE=2a，MD=2a，
由勾股定理，得
EM=

3

a，MD=EG=2a，CD=3

3

a，
∴MD=EN=2a．
∵∠FEM+∠MEG=∠FEG=90°，∠MEG+∠GEN=90°，
∴∠FEM=∠GEN．
∵∠EMF=∠ENG，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

，
∴

EF

FG

=

3 a

2a

=

3

2

，
∴EF=

3

2

EG．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，直角三角形的性質的運用，矩形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，平行線分線段成比例的運用，解答時證明三角形相似是關鍵．