Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A，C分別在y軸，x軸上，∠ACB=90°，OA=

3

，拋物線y=ax²-ax-a經(jīng)過點B（2，

3

3

），與y軸交于點D．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點B關(guān)于直線AC的對稱點是否在拋物線上？請說明理由；
（3）延長BA交拋物線于點E，連接ED，試說明ED∥AC的理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）把點B的坐標代入拋物線的表達式即可求得．
（2）通過△AOC∽△CFB求得OC的值，通過△OCD∽△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出結(jié)論．
（3）設(shè)直線AB的表達式為y=kx+b，求得與拋物線的交點E的坐標，然后通過解三角函數(shù)求得結(jié)果．

解答：解：（1）把點B的坐標代入拋物線的表達式，得

3

3

=a×2²-2a-a，
解得a=

3

3

，
∴拋物線的表達式為y=

3

3

x²-

3

3

x-

3

3

．

（2）連接CD，過點B作BF⊥x軸于點F，則∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCF=90°，
∴∠ACO=∠CBF，
∵∠AOC=∠CFB=90°，
∴△AOC∽△CFB，
∴

AO

CF

=

OC

BF

，
設(shè)OC=m，則CF=2-m，則有

3

2-m

=

m

3 3

，
解得m₁=m₂=1，
∴OC=CF=1，
當x=0時，y=-

3

3

，
∴OD=

3

3

，
∴BF=OD，
∵∠DOC=∠BFC=90°，
∴△OCD≌△FCB，
∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，
∴點B、C、D在同一直線上，
∴點B與點D關(guān)于直線AC對稱，
∴點B關(guān)于直線AC的對稱點在拋物線上．

（3）過點E作EG⊥y軸于點G，設(shè)直線AB的表達式為y=kx+b，則

b= 3 3 3 =2k+b

，
解得k=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x+

3

，代入拋物線的表達式-

3

3

x+

3

=

3

3

x²-

3

3

x-

3

3

．
解得x=2或x=-2，
當x=-2時y=-

3

3

x+

3

=-

3

3

×（-2）+

3

=

5 3

3

，
∴點E的坐標為（-2，

5 3

3

），
∵tan∠EDG=

EG

DG

=

2

5 3 3 + 3 3

=

3

3

，
∴∠EDG=30°
∵tan∠OAC=

OC

OA

=

1

3

=

3

3

，
∴∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠EDG，
∴ED∥AC．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定及性質(zhì)，以及對稱軸的性質(zhì)和解三角函數(shù)等知識的理解和掌握．