Question

20．如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；
（3）如果CD=15，sinA=$\frac{5}{13}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°，即可證明BC是⊙O的切線；
（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)；
（3）如圖，延長CD交⊙O于M．設(shè)OA=r，則AD=$\frac{1}{2}$r．DE=$\frac{5}{24}$r，DF=DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，CF=15-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，CE=CB=15-$\frac{5}{24}$r．
根據(jù)BC²=CF•CM，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：如圖1，連接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等邊三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠AOF=30°；
（3）解：如圖，延長CD交⊙O于M．設(shè)OA=r，則AD=$\frac{1}{2}$r．DE=$\frac{5}{24}$r，DF=DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，CF=15-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，CE=CB=15-$\frac{5}{24}$r．

∵BC²=CF•CM，
∴（15-$\frac{5}{24}$r）²=（15-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r）（15+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r），
解得r=$\frac{3600}{457}$

點評 此題考查了切線的判定，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．