Question

（2008•寧夏）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q．
（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；
（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，若△ADQ的面積是正方形ABCD面積的，則有S_△ADQ=AD•QE=S_{正方形ABCD}，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有解得AP值；
（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性質(zhì)知，①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，QD=QA，此時(shí)△ADQ是等腰三角形，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③當(dāng)AD=AQ=4時(shí)，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)得到CP的值．
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，
無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有
AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，
∴△ADQ≌△ABQ；

（2）解法一：△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時(shí)，
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，
∵在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，
∴S_{正方形ABCD}=16，
∴AD×QE=S_{正方形ABCD}=×16=，
∴QE=，
∵EQ∥AP，
∴△DEQ∽△DAP，
∴，即=，
解得AP=2，
∴AP=2時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
解法二：以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，QF⊥x軸于點(diǎn)F．
AD×QE=S_{正方形ABCD}=×16=，
∴QE=，
∵點(diǎn)Q在正方形對(duì)角線(xiàn)AC上，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），
∴過(guò)點(diǎn)D（0，4），Q（，）兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+4，
當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），
∴AP=2時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

（3）解：若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①當(dāng)AD=DQ時(shí)，則∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°，P為C點(diǎn)，
②當(dāng)AQ=DQ時(shí)，則∠DAQ=∠ADQ=45°，
∴∠AQD=90°，P為B，
③AD=AQ（P在BC上），
∴CQ=AC-AQ=BC-BC=（-1）BC
∵AD∥BC
∴=，即可得==1，
∴CP=CQ=（-1）BC=4（-1）
綜上，P在B點(diǎn)，C點(diǎn)，或在CP=4（-1）處，△ADQ是等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了正方形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)求解．