Question

如圖1，四邊形ABCD中，AC、BD為它的對角線，E為AB邊上一動點（點E不與點A、B重合），EF∥AC交BC于點F，F(xiàn)G∥BD交DC于點G，GH∥AC交AD于點H，連接HE．記四邊形EFGH的周長為P，如果在點E的運動過程中，P的值不變，則我們稱四邊形ABCD為“Ω四邊形”，此時P的值稱為它的“Ω值”．經(jīng)過探究，可得矩形是“Ω四邊形”．如圖2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，則它的“Ω值”為

 

．

（1）等腰梯形

 

 （填“是”或“不是”）“Ω四邊形”；
（2）如圖3，BD是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，AD=3，AB=4，點C為

AB

上的一動點，將△DAB沿CD的中垂線翻折，得到△CEF．當點C運動到某一位置時，以A、B、C、D、E、F中的任意四個點為頂點的“Ω四邊形”最多，最多有

 

個．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：證明矩形ABCD是Ω四邊形，只要證明HE∥BD，即可證得．
（1）利用與上邊相同的方法即可證得等腰梯形的周長是對角線長的2倍；
（2）根據(jù)矩形和（1）可以得到對角線相等的四邊形一定是Ω四邊形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，找到圖形中相等的線段，即可確定四邊形．

解答：解：∵EF∥AC，
∴

AE

BE

=

CF

BF

，
同理，

CF

BF

=

CG

DG

，

CG

DG

=

AH

DH

，
∴

AE

BE

=

AH

DH

，
∴EH∥BD．
∵EF∥AC，
∴

EF

AC

=

BE

AB

=

BF

BC

，
同理，

GF

BD

=

CF

BC

，
∴

EF

AC

+

GF

BD

=

BF+CF

BC

=

BC

BC

=1，
又∵AC=BD，
∴EF+GF=AC，
同理可證：EH+GH=AC．
∴四邊形EFGH的周長是2AC=10．
（1）同上，可證得四邊形EFGH的周長等于2AC，則等腰梯形是Ω四邊形；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：BD=CF，AD=CE，AB=EF，
易得四邊形BCDF，四邊形ACDE，四邊形BAEF，為Ω四邊形．
當C點運動到

AB

中點時，此時還有兩個Ω四邊形：四邊形ADFC，四邊形BCED．
則Ω四邊形有：四邊形BCDF，四邊形ACDE，四邊形BAEF，四邊形ADFC，四邊形BCED．共5個．


故答案是：10，是，5．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，正確證明矩形和等腰梯形中EH∥BD是關(guān)鍵．