Question

在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AC⊥BD于R，PQ與BC、AD分別相交于點Q、P，且∠BAD=∠BQP．求證：PQ∥CD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的判定,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：利用“角邊角”證明△ABR和△CBR全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=BC，再利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAD=BCD，然后求出∠BCD=∠BQP，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明即可．

解答：證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵AC⊥BD，
∴∠ARB=∠CRB，
在△ABR和△CBR中，

∠1=∠2 BR=BR ∠ARB=∠CRB

，
∴△ABR≌△CBR（ASA），
∴AB=BC，
在△ABD和△CBD中，

AB=BC ∠1=∠2 BD=BD

，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠BAD=BCD，
∴∠BCD=∠BQP，
∴PQ∥CD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點在于兩次證明三角形全等．