Question

定義：如果一個y與x的函數(shù)圖象經(jīng)過平移后能與某反比例函數(shù)的圖象重合，那么稱這個函數(shù)是y與x的“反比例平移函數(shù)”．例如：y=

1

x-2

+1的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到y(tǒng)=

1

x

的圖象，則y=

1

x-2

+1是y與x的“反比例平移函數(shù)”．
（1）若矩形的兩邊分別是2cm、3cm，當這兩邊分別增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面積為8cm²，求y與x的函數(shù)表達式，并判斷這個函數(shù)是否為“反比例平移函數(shù)”．
（2）如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（9，0）、（0，3）．點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，“反比例平移函數(shù)”y=

ax+k

x-6

的圖象經(jīng)過B、E兩點．
①求這個“反比例平移函數(shù)”的表達式；②這個“反比例平移函數(shù)”的圖象經(jīng)過適當?shù)淖儞Q與某一個反比例函數(shù)的圖象重合，請直接寫出這個反比例函數(shù)的表達式

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)長方形的面積公式即可得到一個關(guān)于x、y的方程，整理即可得到函數(shù)解析式；
（2）首先求得直線CD和OB的解析式，解方程組求得E的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得a、k的值，進而可以判斷．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：（2+x）（3+y）=8，
解得：y=

8

x+2

-3，
向右平移2個單位長度，向上平移3個單位長度即可得到反比例函數(shù)y=

8

x

，則y=

8

x+2

-3是“反比例平移函數(shù)”．

（2）①∵D是OA的中點，
∴D的坐標是（

9

2

，0），
設(shè)直線CD的解析式是：y=kx+b，
則

b=3 9 2 k+b=0

，
解得：

b=3 k=- 2 3

，
則直線AC的解析式是：y=-

2

3

x+3，
設(shè)直線OB的解析式是：y=mx，根據(jù)題意得：9m=3，
解得：m=

1

3

，
則直線OB的解析式是：y=

1

3

x，
解方程組：

y=- 2 3 x+3 y= 1 3 x

，
解得：

x=3 y=1

，
則E的坐標是（3，1），
則根據(jù)題意得：

3a+k 3-6 =1 9a+k 9-6 =3

，
解得：

a=2 k=-9

，
則“反比例平移函數(shù)”y=

ax+k

x-6

的解析式是：y=

2x-9

x-6

；
②y=

2x-9

x-6

=

2x-12+3

x-6

=

3

x-6

+2，
則向左平移6個單位長度，向下平移2個單位長度，得到反比例函數(shù)y=

3

x

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式式，以及函數(shù)圖象的交點的求法，即解解析式組成的方程組，同時，本題考查了函數(shù)的圖象平移的方法．