Question

如圖：已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸相交于點C（0，-3）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并求出頂點M的坐標；
（2）若C點關于該拋物線對稱軸對稱的點為C′，求直線AC′的解析式；
（3）在該拋物線位于第四象限內(nèi)是否存在一個點P，使得△PAB的面積等于△MAB面積 的一半？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），把（0，-3）代入即可求出a的值，即得到二次函數(shù)的解析式，把它化成頂點式即可求出頂點坐標；
（2）易求C′點的坐標，設所求一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，把C和C′的坐標代入求出k和b的值，即可求出直線AC′的解析式；
（3）在該拋物線位于第四象限內(nèi)存在一個點P，使得△PAB的面積等于△MAB面積 的一半，設P點坐標為（x，y），根據(jù)（1）中的解析式可得到y(tǒng)和x的數(shù)量關系，易求△MAB的面積為8，所以△ABP的面積為：S_△ABP=

1

2

×4×|x²-2x-3|=2（-x²+2x+3）=-2x²+4x+6，依題意：2（-2x²+4x+6）=8，再求出符合題意的x的值即可．

解答：解：（1）依題意：可設所求解析式為：y=a（x+1）（x-3）把點C（0，-3）代入，
解得：a=1，
所求解析式為：y=x²-2x-3，
即：y=（x-1）²-4
所以其頂點坐標為（1，-4），
（2）依題意：C'點的坐標為（2，-3），
設所求一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，
把點C'（2，-3），A（-1，0）代入得：

2k+b=-3 -k+b=0

，
解得：k=-1，b=-1，
所以所求直線解析式為：y=-x-1，
（3）在該拋物線位于第四象限內(nèi)存在一個點P，使得△PAB的面積等于△MAB面積的一半，
理由如下：
設P點坐標為（x，y），
∵y=x²-2x-3，
∴P點坐標為（x，x²-2x-3），
且AB=4，△ABM的高為4，
∴△ABM的面積為：S_△ABM=

1

2

×4×4=8，
△ABP的面積為：S_△ABP=

1

2

×4×|x²-2x-3|=2（-x²+2x+3）=-2x²+4x+6，
依題意：2（-2x²+4x+6）=8，
整理得：x²-2x-1=0，
解得：x₁=1+

2

，x₂=1-

2

，
但因為P點在第四象限，所以x₂=1-

2

（舍去），
所以x=1+

2

，
當x=1+

2

時，y=（1+

2

）²-2（1+

2

）-3=-2，
所以所求P點的坐標 為（1+

2

，-2）．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，三角形面積公式的運用，其中（3）小題正確的求出P的坐標為（x，x²-2x-3），
是解此題的關鍵，此題題型較好，綜合性比較強．