Question

7．一透明的敞口正方體容器ABCD-A′B′C′D′裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α （∠CBE=α，如圖所示）．
探究 如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB′交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示．解決問題：
（1）CQ與BE的位置關系是平行，BQ的長是3dm；
（2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液=底面積S_△BCQ×高AB）；
（3）求液面到桌面的高度和傾斜角α的度數(shù)．（注：sin37°=$\frac{3}{5}$，tan37°=$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)水面與水平面平行可以得到CQ與BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的長；
（2）液體正好是一個以△BCQ是底面的直棱柱，據(jù)此即可求得液體的體積；
（3）求出∠BCQ的正切值即可得到其度數(shù)．

解答 解：（1）CQ∥BE，BQ=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3dm；
故答案為：平行，3；

（2）V_液=$\frac{1}{2}$×3×4×4=24（dm³）；

（3）過點B作BF⊥CQ，垂足為F，
∵$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5×BF，
∴BF=$\frac{5}{12}$，
∴液面到桌面的高度$\frac{5}{12}$；
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=$\frac{3}{4}$，
∴α=∠BCQ=37°．

點評 本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握四邊形的體積計算以及對三視圖的認識，正確理解棱柱的體積的計算是關鍵．