Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分別與AE、AF相交于G、H．
（1）在圖中找出與△ABE相似的三角形，并說明理由；
（2）若AG=AH，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出相等的角，然后判斷出△ABE∽△ADF；
（2）判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，再加上條件AB=AD可以判斷出四邊形ABCD是菱形．

解答：解：（1）△ABE∽△ADF．
理由如下：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°． 
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABE=∠ADF．
∴△ABE∽△ADF．
（2）證明：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG．
∴∠AGB=∠AHD．
∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH．
∴∠BAG≌∠DAH．
∴AB=AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
AB=AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定，熟悉圖形特征是解題的關(guān)鍵．