Question

3．如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，且AO=CO=12，BO=DO=5，點P為線段AC上的一個動點．
（1）填空：AD=CD=13．
（2）過點P分別作PM⊥AD于M點，作PH⊥DC于H點．
①試說明PM+PH為定值．
②連結PB，試探索：在點P運動過程中，是否存在點P，使PM+PH+PB的值最��？若存在，請求出該最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在△ADO中，由勾股定理可求得AD=13，由AC⊥BD，AO=CO，可知DO是AC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可知AD=DC；
（2）連接DP，根據題意可知：S_△ADP+S_△CDP=S_△ADC，由三角形的面積公式可知：$\frac{1}{2}$AD•PM+$\frac{1}{2}$DC•PH=$\frac{1}{2}$AC•OD，將AC、OD、AD、DC的長代入化簡即可；
（3））由PM+PH為定值，當PB最短時，PM+PH+PB有最小值，由垂線的性質可知當點P與點O重合時，OB有最小值．

解答 解：（1）∵AC⊥BD于點O，
∴△AOD為直角三角形．
∴AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13．
∵AC⊥BD于點O，AO=CO，
∴CD=AD=13．
故答案為：13．
（2）如圖1所示：連接PD．

∵S_△ADP+S_△CDP=S_△ADC，
∴$\frac{1}{2}$AD•PM+$\frac{1}{2}$DC•PH=$\frac{1}{2}$AC•OD，即$\frac{1}{2}$×13×PM+$\frac{1}{2}$×13×PH=$\frac{1}{2}×24×5$．
∴13×（PM+PH）=24×5．
∴PM+PH=$\frac{120}{13}$．
（3）∵PM+PH為定值，
∴當PB最短時，PM+PH+PB有最小值．
∵由垂線段最短可知：當BP⊥AC時，PB最短．
∴當點P與點O重合時，PM+PH+PB有最小，最小值=$\frac{120}{13}$+5=$\frac{185}{13}$．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了勾股定理、垂線段的性質、三角形的面積公式、垂線段的性質，利用面積以及三角形的面公式求得PM+PH的值是解答問題（2）的關鍵；利用垂線段的性質得到BP垂直于AC時，PM+PH+PB有最小值是解答問題（3）的關鍵．