Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與直線(xiàn)y=

3

4

x+3交于點(diǎn)C（4，n）．
（1）求n的值及反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)直線(xiàn)y=

3

4

x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D、若點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿線(xiàn)段AD、CA向點(diǎn)D、A運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=m．問(wèn)m為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？

Answer 1

分析：（1）把x=4代入y=

3

4

x+3，即可求出n的值；然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

k

x

，即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）由于點(diǎn)A與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，如果以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，那么分兩種情況：①點(diǎn)P與點(diǎn)O對(duì)應(yīng)，即△APQ∽△AOB；②點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，即△APQ∽△ABO．針對(duì)每一種情況，都可以運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出m的值．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)C（4，n）在直線(xiàn)y=

3

4

x+3上，
所以n=6（1分）
由點(diǎn)C（4，n）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
可求得k=24．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

24

x

．（3分）

（2）∵直線(xiàn)y=

3

4

x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，
∴A（-4，0），B（0，3），
又∵C（4，6），CD⊥x軸于D，
∴AD=8，CD=6，AC=10，AO=4，OB=3，AB=5，
當(dāng)△APQ∽△AOB時(shí)，
即

AP

AO

=

AQ

AB

，
∴

m

4

=

10-m

5

，m=

40

9

（5分）
當(dāng)△AQP∽△AOB時(shí)，
即

AP

AB

=

AQ

AO

，
∴

m

5

=

10-m

4

，m=

50

9

（7分）
綜上所述，當(dāng)m=

40

9

或m=

50

9

時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)解析式的確定、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)．要注意（2）中兩三角形相似時(shí)，應(yīng)分情況討論，注意不要漏解．