Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)拋物線與y軸的交點(diǎn)作y軸的垂線，則稱(chēng)這條垂線是該拋物線的伴隨直線.例如：拋物線的伴隨直線為直線.拋物線的伴隨直線l與該拋物線交于點(diǎn)A、D（點(diǎn)A在y軸上），該拋物線與x軸的交點(diǎn)為B(-1,0)和C（點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)）.

（1）若直線l是y=2，求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）.

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，作OA的垂直平分線EF，交OA于點(diǎn)E，交該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)F.

①當(dāng)△ADF是等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

②將直線EF沿直線l翻折得到直線GH，當(dāng)點(diǎn)M到直線GH的距離等于點(diǎn)C到直線EF的距離時(shí)，直接寫(xiě)出m的值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；（4）， ， ．

【解析】試題分析：（1）求出A、B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到．將該拋物線配方，得到對(duì)稱(chēng)軸是直線，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）①分三種情況討論：i）當(dāng)，且∠AFD=90°時(shí)；ii）當(dāng)，∠AFD=90°時(shí)；iii）當(dāng)時(shí)．

②設(shè)GH交y軸于G，則GA=AE=EO=，拋物線頂點(diǎn)M為（m， ），由，得到，解方程即可．

試題解析：解：（1）由題意，得A的坐標(biāo)為．

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（－1，0），∴

解得：

∴該拋物線的對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

（2）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴．

將該拋物線配方，得，∴對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m， ）．

（3）①當(dāng)，且∠AFD=90°時(shí)，則△ADF是等腰直角三角形，∴AD=2AE，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)， ，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）．

當(dāng)，∠AFD=90°時(shí)，則△ADF是等腰直角三角形，∴AD=2AE，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)， ，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）．

當(dāng)時(shí)，EF>AE．此時(shí)△ADF不是等腰直角三角形．

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）或（， ）．

②設(shè)GH交y軸于G，則GA=AE=EO=，拋物線頂點(diǎn)M為（m， ）．∵，∴，∴，或，解得： 或或．