Question

【題目】小紅在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了角的相關(guān)知識(shí)后，立即對(duì)角產(chǎn)生了濃厚的興趣.她查閱書籍發(fā)現(xiàn)兩個(gè)有趣的概念，三角形中相鄰兩條邊的夾角叫做三角形的內(nèi)角；三角形一條邊的延長(zhǎng)線與其鄰邊的夾角，叫做三角形的外角.小紅還了解到三角形的內(nèi)角和是180°，同時(shí)她很容易地證明了三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.于是，愛思考的小紅在想，三角形的內(nèi)角是否也具有類似的性質(zhì)呢？三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

①嘗試探究：

（1）如圖1，∠1與∠2分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

解：數(shù)量關(guān)系：∠l+∠2=180°+∠A

理由：∵∠1與∠2分別為△ABC的兩個(gè)外角

∴∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠4

∴∠1+∠2=360°-(∠3+∠4)

∵三角形的內(nèi)角和為180°

∴∠3+∠4=180°-∠A

∴∠l+∠2=360°-(180°-∠A)=180°+∠A

小紅順利地完成了探究過(guò)程，并想考一考同學(xué)們，請(qǐng)同學(xué)們利用上述結(jié)論完成下面的問(wèn)題.

②初步應(yīng)用：

（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1=130°，則∠2-∠C=________；

（3）如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，則∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？________________.（直接填答案）

③拓展提升：

（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，則∠P與∠1、∠2有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說(shuō)明，可直接使用，不需說(shuō)明理由.）

Answer 1

【答案】（2）50°（3）∠A+2∠P=180°（4）解：數(shù)量關(guān)系：∠1+∠2+2∠P=360°，理由見解析.

【解析】試題分析：（2）根據(jù)（1）即可得出結(jié)論；

（3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，再由三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得出結(jié)論；

（4）延長(zhǎng)線段BA、線段CD交于點(diǎn)Q，由（3）可知：∠Q+2∠P=180°．由（1）可知：∠1+∠2=180°+∠Q，整理即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（2）由（1）知：∠l+∠2=180°+∠C，∴∠2－∠C=180°－∠1=180°－130°=50°；

（3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A．∵∠P=180°－(∠PBC+∠PCB)=180°－（∠DBC+∠ECB）=180°－（180°+∠A）=90°－∠A，∴∠A+2∠P=180°；

（4）解：數(shù)量關(guān)系：∠1+∠2+2∠P=360°．理由如下：

如圖，延長(zhǎng)線段BA、線段CD交于點(diǎn)Q，由（3）可知，∠Q+2∠P=180°．

由（1）可知，∠1+∠2=180°+∠Q，∴(∠1+∠2-180°)+2∠P=180°，∴∠1+∠2+2∠P=360°．