Question

不定方程a²+b²+c²=a²b²的所有整數(shù)解是

 

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Answer 1

分析：首先對(duì)其中c進(jìn)行分析，c等于零 奇數(shù) 偶數(shù)再對(duì)a b分析（同為奇數(shù) 偶數(shù) 一奇一偶），求出每種情況的解的情況，再依次進(jìn)行分析，最終求出方程的解．只有一個(gè)解．

解答：解：首先對(duì)c進(jìn)行奇偶性分析：
（1）c=0時(shí)，方程化為a²+b²=a²b²，即（a²-1）（b²-1）=1由于a²-1與b²-1都是1的約數(shù)，
所以

a2-1=1 b2-1=1

，

a2-1=-1 b2-1=-1

以上方程組只能解出a=b=0，于是，方程有一組解a=b=c=0．
（2）c為奇數(shù)時(shí)，再對(duì)a，b進(jìn)行奇偶性分析．
（i）若a和b同為奇數(shù)，則a²，b²，c²都是4k+1型，于是a²+b²+c²為4k+3型，而a²b²為4k+1型，等式不能成立，方程無(wú)解；
（ii）若a，b同為偶數(shù)，此時(shí)方程左邊=a²+b²+c²為奇數(shù)，左邊=a²b²為偶數(shù)，方程無(wú)解；
（iii）若a和b為一奇一偶，此時(shí)方程左邊為4k+2型，右邊為4k時(shí)，方程無(wú)解．
（3）c為偶數(shù)時(shí)，仍對(duì)a和b進(jìn)行奇偶性分析：
（i）若a和b同為奇數(shù)，則方程左邊為4k+2型，右邊為奇數(shù)，方程無(wú)解；
（ii）若a和b為一奇一偶，則方程左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，方程無(wú)解；
（iii）若a，b同為偶數(shù)，這時(shí)，方程兩邊均為4k型，需要再細(xì)致分析：
設(shè)a=2^mα，b=2ⁿβ，c=2^tr，其中m，n，t為非負(fù)整數(shù)，α，β，r為奇數(shù)．則方程化為2^2mα²+2²ⁿβ²+2^2tr²=2^2m+2nα²β²
當(dāng)t最小時(shí)，方程兩邊約去2^2t，得2^2m-2tα²+2^2n-2tβ²+r²=α²β²•2^2m+2n-2t顯然，方程左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，方程無(wú)解；
當(dāng)m最小時(shí)，方程兩邊約去2^2m得α²+2^2n-2mβ²+2^2t-2mr²=2²ⁿα²β²．
同樣，方程左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，方程無(wú)解；
當(dāng)n最小時(shí)，同樣可得方程無(wú)解．
當(dāng)m=n=t時(shí)，則方程左邊是奇數(shù)，而右邊是偶數(shù)，方程無(wú)解；
綜上討論，方程a²+b²+c²=a²b²只有一組整數(shù)解a=0，b=0，c=0．

點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是如何對(duì)abc進(jìn)行分析，分析要全面（如奇數(shù)偶數(shù)零），求出所有情況的方程的解，再針對(duì)所有的進(jìn)行歸納和總結(jié)．