Question

如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠BCD
（1）BE與DF平行嗎？請說明理由．
（2）若（1）中“∠A=∠C=90°”改為∠A=∠C，上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

考點：平行線的判定

專題：常規(guī)題型

分析：（1）由∠A=∠C=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得∠ABC+∠ADC=180°，再根據(jù)角平分線定義得∠EBC=

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∠ABC，∠FDC=

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2

∠ADC，則∠EBC+∠FDC=90°，而∠DFC+∠FDC=90°，所以∠EBC=∠DFC，然后根據(jù)平行線的判定方法即可得到BE∥DF；
（2）結(jié)論成立．理由如下：
根據(jù)四邊形內(nèi)角和得∠ABC+∠ADC=360°-2∠C，再根據(jù)角平分線定義得∠EBC=

1

2

∠ABC，∠FDC=

1

2

∠ADC，則∠EBC+∠FDC=180°-∠C，即∠EBC=180°-∠C-∠DFC，
而∠DFC=180°-∠FDC-∠C，所以∠EBC=∠DFC，然后根據(jù)平行線的判定方法即可得到BE∥DF．

解答：解：（1）BE與DF平行．理由如下：
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠BCD，
∴∠EBC=

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2

∠ABC，∠FDC=

1

2

∠ADC，
∴∠EBC+∠FDC=90°，
而∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EBC=∠DFC，
∴BE∥DF；
（2）結(jié)論成立．理由如下：
∵∠A=∠C，
∴∠ABC+∠ADC=360°-2∠C，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠BCD，
∴∠EBC=

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2

∠ABC，∠FDC=

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2

∠ADC，
∴∠EBC+∠FDC=

1

2

（360°-∠A-∠C）=180°-∠C，
∴∠EBC=180°-∠C-∠DFC，
而∠DFC=180°-∠FDC-∠C，
∴∠EBC=∠DFC，
∴BE∥DF．

點評：本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．