Question

某課題學習小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問題進行了探討：

  定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.

  結(jié)論：在探討過程中，有三位同學得出如下結(jié)果：

       甲同學：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在____個、____個、_____個大小不同的內(nèi)接正方形.

       乙同學：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.

       丙同學：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.

任務：（1）填充甲同學結(jié)論中的數(shù)據(jù)；

       （2）乙同學的結(jié)果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明；

       （3）請你結(jié)合（2）的判定，推測丙同學的結(jié)論是否正確，并證明。

（如圖，設(shè)銳角△ABC的三條邊分別為不妨設(shè)，三條邊上的對應高分別為，內(nèi)接正方形的邊長分別為.若你對本小題證明有困難，可直接用“”這個結(jié)論，但在證明正確的情況下扣1分）.

 

Answer 1

（１）1,2,3.                         

（２）乙同學的結(jié)果不正確.          

 例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，則.

如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點在斜邊上的內(nèi)接正方形.

設(shè)它的邊長為a,則依題意可得：，∴.

如圖②，四邊形DEFH兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形.

設(shè)它的邊長為,則依題意可得：，∴.

∴.       

（３）丙同學的結(jié)論正確.

設(shè)△ABC的三條邊分別為不妨設(shè)，三條邊上的對應高分別為，內(nèi)接正方形的邊長分別為.

依題意可得：，  ∴.同理 .

   ∵    

          =

          =

=

   又∵，   ∴，

∴，即.

∴在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.

 解析:略