Question

（2010•石景山區(qū)二模）（1）已知：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，點E為AB中點，PE⊥AB交CD的延長線于P，猜想：∠PAC+∠PBC=______°（直接寫出結(jié)論，不需證明）．
（2）已知：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，點E為AB中點，PE⊥AB交CD的延長線于P，（1）中結(jié)論是否成立，若成立，請證明；若不成立請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形和四邊形的內(nèi)角和定理可猜想：∠PAC+∠PBC=180°；
（2）連接CE，如能夠證明CE=PE=EB=AE，即可得△PAE與△PBE為等腰直角三角形，則∠APB=45°+45°=90°，再由四邊形的內(nèi)角和即可得證；由已知易證AE=EB=EC，主要是證明PE=EC=AE，可由∠EAC=∠ECA，則∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠EAC-45°，又∵∠DAC=180°-∠ADC-45°=135°-∠PDE，
∴∠DCE=135°-∠PDE-45°=90°-∠PDE=∠DPE，即可得證．
解答：解：（1）猜想：∠PAC+∠PBC=180°；

（2）結(jié)論：依然成立．
證明：連接CE．
∵E為AB中點，
∴AE=EB=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠EAC-45°，
又∵∠DAC=180°-∠ADC-45°=135°-∠PDE，
∴∠DCE=135°-∠PDE-45°=90°-∠PDE=∠DPE，
∴PE=EC=AE，
∴△PAE與△PBE為等腰直角三角形，∠APB=90°，
∴∠PAC+∠PBC=360°-∠APB-∠ACB=360°-90°-90°=180°．
點評：此題綜合考查角平分線的定義、等腰直角三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)和三角形、四邊形的內(nèi)角和等知識點，難度較大，輔助線的作法是關(guān)鍵．