Question

17．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+4x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，-1）和點(diǎn)B（-3，-9）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）寫出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P（m，-m）與點(diǎn)Q均在該函數(shù)圖象上（其中m＞0），且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求m的值及點(diǎn)Q到x軸的距離．
（4）求△MPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式，解二元一次方程組，求出二次函數(shù)解析式；
（2）利用配方法把二次函數(shù)解析式的一般式寫成頂點(diǎn)式，求出拋物線對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將點(diǎn)P代入函數(shù)解析式，求出m的值及點(diǎn)P坐標(biāo)，注意m＞0的條件，利用對(duì)稱性求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)Q到x軸距離；
（4）三角形一邊PQ平行x軸，因此利用三角形面積公式可以求出三角形面積．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+4x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，-1）和點(diǎn)B（-3，-9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=1}\\{9a-12+c=-9}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²+4x-6；

（2）∵y=x²+4x-6
=x²+4x+4-4-6
=（x+2）²-10，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-10）；

（3）∵點(diǎn)P（m，-m）在函數(shù)圖象上（m＞0），
∴m²+4m-6=-m，
整理得m²+5m-6=0，
解得m₁=1，m₂=-6（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），
∵點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-2對(duì)稱，
設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，-1），
∴$\frac{1+x}{2}$=-2，
∴x=-5，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-5，-1），
∴點(diǎn)Q到x軸距離為1．

（4）∵PQ∥x軸，
∴PQ=1-（-5）=6
點(diǎn)M到直線PQ距離h為：-1-（-10）=9
∴S_△MPQ=$\frac{1}{2}$×PQ×h，
=$\frac{1}{2}$×6×9，
=27．
答：△MPQ的面積為27．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)解析式的求解、一般式到頂點(diǎn)式的變形、對(duì)稱性質(zhì)以及三角形面積求解，題目設(shè)計(jì)由易到難，難度適中，可以很好地考查學(xué)生的知識(shí)掌握情況．