Question

如圖，⊙P過O（0，0），A（0，4），C（2，0），半徑PB⊥PA，則點B的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：連接AC，根據(jù)點A、C的坐標(biāo)求出OA、OC，再利用勾股定理列式求出AC，再求出AP的長，設(shè)PB與y軸相交于D，利用∠CAO的余弦列式求出AD，再求出PD，過點B作BE⊥y軸于E，求出∠BDE=∠ACO，然后解直角三角形求出BE、DE，然后求出OE的長度，再寫出點B的坐標(biāo)即可．

解答：解：如圖，連接AC，
∵A（0，4），C（2，0），
∴OA=4，OC=2，
由勾股定理得，AC=

OA2+OC2

=

42+22

=2

5

，
∴AP=

1

2

AC=

1

2

×2

5

=

5

，
設(shè)PB與y軸相交于D，
則AD=AP÷cos∠CAO=

5

÷

4

2 5

=

5

2

，
∴OD=OA-AD=4-

5

2

=

3

2

，
PD=AP•tan∠CAO=

5

×

2

4

=

5

2

，
過點B作BE⊥y軸于E，則∠BDE=∠ACO，
①點B在AP的右邊時，BD=BP+PD=

5

+

5

2

=

3 5

2

，
∴BE=

3 5

2

×

4

2 5

=3，
DE=

3 5

2

×

2

2 5

=

3

2

，
∴OE=OD+DE=

3

2

+

3

2

=3，
此時，點E的坐標(biāo)為（3，3），
②點B在AP的左邊時，BD=BP-PD=

5

-

5

2

=

5

2

，
∴BE=

5

2

×

4

2 5

=1，
DE=

5

2

×

2

2 5

=

1

2

，
∴OE=OD-DE=

3

2

-

1

2

=1，
此時，點B的坐標(biāo)為（-1，1），
綜上所述，點B的坐標(biāo)為（3，3）或（-1，1）．
故答案為：（3，3）或（-1，1）．

點評：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．