Question

正方形ABCD的邊長為4，BE∥AC交DC的延長線于E．
（1）如圖1，連接AE，求△AED的面積．
（2）如圖2，設P為BE上（異于B、E兩點）的一動點，連接AP、CP，請判斷四邊形APCD的面積與正方形ABCD的面積有怎樣的大小關系？并說明理由．
（3）如圖3，在點P的運動過程中，過P作PF⊥BC交AC于F，將正方形ABCD折疊，使點D與點F重合，其折線MN與PF的延長線交于點Q，以正方形的BC、BA為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設點Q的坐標為（x，y），求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

解：（1）因為BE∥AC，AB∥CD，
所以四邊形ABEC是平行四邊形，
所以CE=AB=4，
所以△AED的面積為×4×（4×2）=16；

（2）四邊形APCD的面積與正方形ABCD的面積相等，
因為BE∥AC，所以△APC的面積與△ABC的面積相等，
所以△APC的面積+△ACD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積=正方形ABCD的面積；

（3）點F在AC上，且PF⊥X軸，故可設點F的坐標為（m，-m+4），
已知D的坐標為（4，4），故FD所在直線的斜率K_FD=-，
折痕MN⊥FD，故MN所在直線的斜率K_MN=，
FD的中點G的坐標為（，）．
故折痕MN所在直線的方程為：
y=[（m-4）÷m][x-（m+4）÷2]+（-m+8）÷2
令x=m，代入上式，即得Q點的縱坐標：
y=[（m-4）÷m][m-（m+4）÷2]+（-m+8）÷2
=（m-4）²÷（2m）-（m-8）÷2=[（m-4）²-m（m-8）]÷（2m）=
將m改為x，即得點Q的坐標（x，y）之間的關系為：y=．
分析：（1）求證四邊形ABEC是平行四邊形，得出CE=AB，然后可求出△AEC的面積．
（2）求證△APC的面積與△ABC的面積相等，然后可推出四邊形APCD的面積與正方形ABCD的面積相等．
（3）點F在AC上，且PF⊥X軸，故可設點F的坐標為（m，-m+4）．已知D的坐標為（4，4），故可求得FD所在直線的斜率K_FD．折痕MN⊥FD，故MN所在直線的斜率K_MN•K_FD=-1．可求得FD的中點G的坐標為（，）．進而求得故折痕MN所在直線的方程
令x=m，代入MN所在直線的方程，即得Q點的縱坐標從而確定y與x的關系式．
點評：本題考查的是正方形的性質，考生應注意現實生活的問題與圖象相結合空間想象解答問題．