Question

如圖，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于點C，AC⊥CB交BE于點A，△ABC的外接圓的半徑為r．
（1）若∠E=30°，求證：BC•BD=r•ED；
（2）若BD=3，DE=4，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）取AB中點O，由題意得△ABC是Rt△，O是外接圓心，連接CO，可證得OC∥DB，則

OC

BD

=

CE

DE

，即OC•DE=CE•BD；作CF⊥BE，然后證得∠CBE=∠E=30°，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得CE=BC，則可得BC•BD=r•ED；
（2）根據(jù)勾股定理求出BE，設(shè)CE=x，則BC=x，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理求出x，再推得CE為圓的切線，利用切割線定理求出AE的值．

解答：（1）證明：取AB中點O，△ABC是Rt△，AB是斜邊，O是外接圓心，連接CO，
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分線，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥DB，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
∴

OC

BD

=

CE

DE

，把比例式化為乘積式得BD•CE=DE•OC，
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
∵∠D=90°，∠E=30°，
∴∠DBE=60°，
∴∠CBE=

1

2

∠DBE=30°，
∴∠CBE=∠E，
∴CE=BC，
∴BC•BD=r•ED．

（2）解：BD=3，DE=4，根據(jù)勾股定理，BE=5，
設(shè)圓的半徑長是r，則OC=OA=r，
∵OC∥DB，
∴△OCE∽BDE，
∴

OC

BD

=

OE

BE

=

CE

DE

，即

r

3

=

OE

5

=

CE

4

解得：OE=

5

3

r，CE=

4

3

r．
CH=

OC•CE

OE

=

4

5

r，
∵BC平分∠DBE交DE于點C，則△BDC≌△BHC，
∴BH=BD=3，
則HE=2．
∴CD=CH=

4

5

r．
在直角△CHE中，根據(jù)勾股定理得：CH²+EH²=CE²，
即（

4

5

r）2+2²=（

4

3

r）²，解得：r=

15

8

，
則AE=BE-2r=5-

15

4

=

5

4

．

點評：本題考查的是切割線定理，切線的性質(zhì)定理，勾股定理．