Question

如圖，拋物線y=ax²-8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，0），且∠ACD=90°．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）平行于y軸的直線m從點(diǎn)D出發(fā)沿x軸向右平行移動(dòng)，到點(diǎn)A停止．設(shè)直線m與折線DCA的交點(diǎn)為G，與x軸的交點(diǎn)為H（t，0）．記△ACD在直線m左側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）令y=ax²-8ax+12a=0，解一元二次方程，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）由∠ACD=90°可知△ACD為直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式；
（3）△PAC的周長(zhǎng)=AC+PA+PC，AC為定值，則當(dāng)PA+PC取得最小值時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最�。�設(shè)點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接AC′與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知點(diǎn)P即為所求；
（4）直線m運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有兩種情形，需要分類討論并計(jì)算，避免漏解．

解答：解：（1）拋物線的解析式為：y=ax²-8ax+12a（a＞0），
令y=0，即ax²-8ax+12a=0，

解得x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0），B（6，0）．

（2）拋物線的解析式為：y=ax²-8ax+12a（a＞0），
令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD²=OC²+OD²=（12a）²+6²=144a²+36；
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OC²+OA²=（12a）²+2²=144a²+4；
在Rt△ACD中，由勾股定理得：DC²+AC²=AD²；
即：（144a²+36）+（144a²+4）=8²，
解得：a=

3

6

或a=-

3

6

（舍去），
∴拋物線的解析式為：y=

3

6

x²-

4 3

3

x+2

3

．

（3）存在．
對(duì)稱軸為直線：x=-

8a

2a

=4．

由（2）知C（0，2

3

），則點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸x=4的對(duì)稱點(diǎn)為C′（8，2

3

），
連接AC′，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．此時(shí)△PAC周長(zhǎng)最小，最小值為AC+AC′．
設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，則有：

2k+b=0 8k+b=2 3

，解得

k= 3 3 b=- 2 3 3

，
∴y=

3

3

x-

2 3

3

．
當(dāng)x=4時(shí)，y=

2 3

3

，∴P（4，

2 3

3

）．
過(guò)點(diǎn)C′作C′E⊥x軸于點(diǎn)E，則C′E=2

3

，AE=6，
在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′=

(2 3 )2+62

=4

3

；
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=

22+(2 3 )2

=4．
∴AC+AC′=4+4

3

．
∴存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，

2 3

3

），△PAC周長(zhǎng)的最小值為4+4

3

．

（4）①當(dāng)-6≤t≤0時(shí)，如答圖4-1所示．
∵直線m平行于y軸，
∴

GH

CO

=

DH

DO

，即

GH

2 3

=

6+t

6

，解得：GH=

3

3

（6+t）
∴S=S_△DGH=

1

2

DH•GH=

1

2

（6+t）•

3

3

（6+t）=

3

6

t²+2

3

t+6

3

；

②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如答圖4-2所示．
∵直線m平行于y軸，
∴

GH

CO

=

AH

AO

，即

GH

2 3

=

2-t

2

，解得：GH=-

3

t+2

3

．
∴S=S_△COD+S_梯形OCGH=

1

2

OD•OC+

1

2

（GH+OC）•OH
=

1

2

×6×2

3

+

1

2

（-

3

t+2

3

+2

3

）•t
=-

3

2

t²+2

3

t+6

3

．
∴S=

3 6 t2+2 3 t+6 3 (-6≤t≤0) - 3 2 t2+2 3 t+6 3 (0＜t≤2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是典型的二次函數(shù)壓軸題，綜合考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，難度不大．第（3）考查最值問(wèn)題，注意利用軸對(duì)稱的性質(zhì)；第（4）問(wèn)是動(dòng)線型問(wèn)題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意圖形面積的計(jì)算．