Question

如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上一點，連接BE，且BE=BC，∠EBC=45°，CF⊥BE于點F，O為AC的中點，AB=2．
（1）求OB的長；
（2）求證：DE+BF=BC．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接BD，先求得△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)AB求得BC=BE=

2

AB=2

2

，然后根據(jù)勾股定理求得BD，進而求得OB的長．
（2）求得△BCE是等腰直角三角形，根據(jù)BC求得BF=

2

2

BC=2=AB=AE，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）如圖，連接BD，
∵四邊形ABCD是矩形，O是AC的中點，
∴AC、BD交于O，
∴AC=BD，OB=

1

2

BD，
∵∠EBC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BC=BE=

2

AB=2

2

，
∴BD=

BC2+AB2

=

8+4

=2

3

，
∴OB=

1

2

BD=

3

．
（2）∵CF⊥BE，∠EBC=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BF=

2

2

BC=2
∵△ABE是等腰直角三角形，BE=BC
∴AB=AE=BF=2，
∴BF+DE=AE+DE=AD=BC．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用，等腰直角三角形的判定是本題的重點．