Question

如圖，在⊙O中，BC為⊙O的弦，點A在⊙O內（點O、A在弦BC的同一側），連接OA、AB，若OA=8，AB=12，∠OAB=∠ABC=60°，則弦BC的長為

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,等邊三角形的判定與性質,含30度角的直角三角形

專題：

分析：作OD⊥AB，OE⊥BC分別于點D、E，連接OB．作OF∥BC交AB于點F，作FG⊥BC于點G，在直角△AOD中利用三角函數求得OD、AD的長，則BD的長即可求解，根據勾股定理即可求得半徑，在直角△BFG中，利用三角函數求得FG的長，即OE的長，然后根據垂徑定理和勾股定理即可求解．

解答：解：作OD⊥AB，OE⊥BC分別于點D、E，連接OB．作OF∥BC交AB于點F，作FG⊥BC于點G．
則∠AFO=∠ABC=60°，
∴△AOF是等邊三角形，
∴AF=OA=8，
則BF=12-8=4，
在直角△BFG中，FG=BF•sin∠ABC=BF•sin60°=2

3

，則OE=FG=2，
在直角△AOD中，AD=OA•cos∠OAB=8×

1

2

=4，OD=OA•sin∠OAB=8×

3

2

=4

3

，
則BD=AB-AD=12-4=8，
則在直角△OBD中，OB=

OD2+BD2

=

112

，
在直角△OBE中，BE=

OB2-OE2

=10，
∵OE⊥BC，
BC=2BE=20．
故答案為：20．

點評：本題考查了垂徑定理的應用，等邊三角形的判定好性質、勾股定理的運用以及三角函數的應用，正確作出輔助線是關鍵．