Question

16．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=10，AD=8；將矩形紙片沿折痕DF折疊，使點C疊在AB邊上的點E處．
（1）求證：△ADE∽△BEF； 
（2）求BF的長；
（3）問在邊DC上是否存在一點P，使得△FCP與△BEF相似？若存在請求出此時CP的長；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得∠A=∠B=∠C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠1與∠3的關(guān)系，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠DEF=∠C，根據(jù)角的和差，可得∠1與∠2的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠2與∠3的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得DE與BC的關(guān)系，CF與BE的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得AE的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于BF的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于CP的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 （1）證明：如圖1，
∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵折疊，
∴∠DEF=∠C═90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ADE∽△BEF；
（2）∵折疊，
∴DE=DC=10，CF=EF．
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{{{10}^2}-{8^2}}$=6，
∴BE=10-6=4．
∵△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AD}{BE}$，即$\frac{6}{BF}$=$\frac{8}{4}$．
解得BF=3；
（3）如圖2，
∵∠B=∠C，BE=4，BF=3，CF=BC-BF=5．
①當(dāng)△CFP∽△BEF時，$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CP}{BF}$，即$\frac{5}{4}$=$\frac{CP}{3}$，
解得CP=$\frac{15}{4}$；
②當(dāng)△CFP∽△②BEF時$\frac{CP}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，即$\frac{CP}{4}$=$\frac{5}{3}$，
解得CP=$\frac{20}{3}$；
綜上所述，存在點P，使△FCP與△BEF相似，
此時，CP=$\frac{15}{4}$或$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了相似形綜合題，利用了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，利用余角的性質(zhì)得出∠2=∠3是解題關(guān)鍵；利用了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)；利用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于CP的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．