Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)．
①要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是AD=BC；
②要使四邊形EFGH是矩形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是AD⊥BC．

Answer 1

分析 ①由已知條件得出GH是△ADC的中位線，EF是△ABD的中位線，GF是△CBD的中位線，由三角形中位線定理得出GH∥EF，GH=EF，再證出GE=EH，即可得出結(jié)論．
②由①得出四邊形EFGH是平行四邊形，由AD⊥BC，得出GH⊥GF，即可得出結(jié)論．

解答 解：①AD=BC；理由如下：
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，
∴GH是△ADC的中位線，EF是△ABD的中位線，GF是△CBD的中位線，
∴GH∥AD，GH=$\frac{1}{2}$AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，EF∥AD，GF=$\frac{1}{2}$BC，GF∥BC，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵AD=BC，
∴GH=GF，
∴四邊形EFGH是菱形；
故答案為：AD=BC．
②AD⊥BC，理由如下：由①得：GH∥AD，GH=$\frac{1}{2}$AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，EF∥AD，GF=$\frac{1}{2}$BC，GF∥BC，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵AD⊥BC，
∴GH⊥GF，
∴四邊形EFGH是矩形；
故答案為：AD⊥BC．

點(diǎn)評 本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定、菱形的判定方法以及矩形的判定；熟練掌握菱形和矩形的判定方法，由三角形中位線定理得出線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．