Question

7．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，
（1）如圖1，求證：AB+AC＞2AD；
（2）如圖2，若∠BAC＜90°，作EA⊥AC，F(xiàn)A⊥BA，且AE=AC，AF=AB，連接EF，寫出AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）延長AD至E，使DE=AD，連接CE，證明△CDE與△ADB全等，再利用三角形的三邊關(guān)系證明即可；
（2）延長AD到M，使AD=DM，連接BM、CM，根據(jù)∠ABM+∠BAC=180°、∠EAC+∠BAF=180°知∠ABM=∠EAF，再證△AEF≌△BMA可得．

解答 證明：（1）如圖1，延長AD至E，使DE=AD，連接CE，

在△CDE與△ADB中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADB=∠EDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△ADB（SAS），
∴AB=CE，
∴AC+CE=AC+AB＞AE=2AD，
即AC+AB＞2AD；
（2）EF=2AD，
如圖2，延長AD到M，使AD=DM，連接BM、CM，

∵BD=DC，AD=DM，
∴四邊形ABMC是平行四邊形，
∴AC=BM=AE，BM∥AC，
∴∠ABM+∠BAC=180°，
又∵EA⊥AC，F(xiàn)A⊥BA，
∴∠EAC+∠BAF=90°+90°=180°，即∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠ABM=∠EAF，
在△AEF和△BMA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=BM}\\{∠EAF=∠MBA}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BMA（SAS），
∴EF=AM=2AD．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)建全等三角形將待證線段利用全等三角形聯(lián)系到一起是關(guān)鍵．