Question

9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，DE=DC，∠EDC=90°，若AB=2，則AD的長(zhǎng)是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，將AD替換成BF，再由三角形相似，借助比的特性，即能得出結(jié)論．

解答 解：延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，

∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠F，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE=1，
在△ADE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠F}\\{∠AED=∠BEF（對(duì)頂角）}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AD=BF，DE=EF，
∵∠B=∠F+∠BEF=45°，DE=DC，∠EDC=90°，
∴∠CED=∠F+∠ECF=45°，CE=$\sqrt{2}$DE，
∴∠BEF=∠ECF，
∵∠F=∠F，
∴△BEF∽△ECF，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{EF}{CE}$，即$\frac{BF}{EF}$=$\frac{BE}{CE}$，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}DE}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是巧妙的利用比的特性，化未知為已知，從而得出結(jié)論．