Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸，BC與函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交于點(diǎn)C（2，4）．
（1）設(shè)函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求△BDA的面積．
（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，分別過(guò)A、C作PC、PA的平行線交于點(diǎn)Q，連接PQ．試探究：
①是否存在點(diǎn)P，使得PQ²=PA²+PC²？請(qǐng)說(shuō)明理由．
②是否存在點(diǎn)P，使得PQ取得最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答，然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出AD的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）①先判斷出四邊形AQCP是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得PC=AQ，然后根據(jù)勾股定理逆定理判斷出∠PAQ=90°，再求出∠APC=90°，然后求出△AOP和△PBC相似，設(shè)OP=x，表示出BP，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理，再利用根的判別式解答；
②連接AC，與PQ相交于點(diǎn)E，先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得PE=EQ，再根據(jù)垂線段最短可知PQ⊥y軸時(shí)PQ的值最小，然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵BC⊥y軸，點(diǎn)C（2，4），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
又∵拋物線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0），C（2，4），
∴

25a+5b+c=0 4a+2b+c=4 c=4

，
解得

a=- 4 15 b= 8 15 c=4

，
所以，拋物線的解析式為y=-

4

15

x²+

8

15

x+4，
令y=0，則-

4

15

x²+

8

15

x+4=0，
整理得，x²-2x-15=0，
解得x₁=-3，x₂=5，
所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0），
∴AD=5-（-3）=5+3=8，
△BDA的面積=

1

2

AD•OB=

1

2

×8×4=16；

（2）①∵PC∥AQ，CQ∥PA，
∴四邊形AQCP是平行四邊形，
∴PC=AQ，
∵PQ²=PA²+PC²，
∴PQ²=PA²+AQ²，
∴∠PAQ=90°，
∴∠APC=180°-∠PAQ=180°-90°=90°，
又∵∠PBC=∠AOP=90°，
∴∠APO+∠PAO=90°，∠APO+∠BPC=90°，
∴∠PAO=∠BPC，
∴△AOP∽△PBC，
∴

PO

BC

=

AO

BP

，
設(shè)OP=x，表示出BP=4-x，
∴

x

2

=

5

4-x

，
整理得，x²-4x+10=0，
∵△=b²-4ac=（-4）²-4×1×10=-24＜0，
∴該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴不否存在點(diǎn)P，使得PQ²=PA²+PC²；

②如圖，連接AC，與PQ相交于點(diǎn)E，
∵A（5，0），C（2，4），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

7

2

，2），
∵四邊形AQCP是平行四邊形，
∴PE=EQ，
由垂線段最短可知PQ⊥y軸時(shí)PE最小，
∴PQ的值最小，
此時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，為2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），此時(shí)，PQ=7
故存在點(diǎn)P（0，2），使得PQ取得最小值7．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根的判別式的利用，垂線段最短，（2）②確定出PQ與y軸垂直時(shí)取值最小是解題的關(guān)鍵．