Question

已知

a-1

是方程x²-

3

x=3x-1的一個根．試求代數(shù)式（

a2+6

a2-1

-

a+1

a-1

+1）÷

a3+8

a4+3a3+2a2

的值．

Answer 1

考點：分式的化簡求值,一元二次方程的解

專題：

分析：把所求代數(shù)式的分子分母分解因式并利用分式的加減運(yùn)算和乘除運(yùn)算整理得到

a2

a-1

，再根據(jù)方程的解的定義把方程的根代入方程求出a²=（12+6

3

）（a-1），然后計算即可得解．

解答：解：（

a2+6

a2-1

-

a+1

a-1

+1）÷

a3+8

a4+3a3+2a2

，
=

a2+6-a2-2a-1+a2-1

a2-1

×

a2(a2+3a+2)

(a+2)(a2-2a+4)

，
=

a2-2a+4

(a+1)(a-1)

×

a2(a+1)(a+2)

(a+2)(a2-2a+4)

，
=

a2

a-1

，
∵

a-1

是方程x²-

3

x=3x-1的一個根，
∴a-1=（3+

3

）

a-1

-1，
∴a=（3+

3

）

a-1

，
兩邊平方得，a²=（12+6

3

）（a-1），
∴

a2

a-1

=12+6

3

，
即代數(shù)式（

a2+6

a2-1

-

a+1

a-1

+1）÷

a3+8

a4+3a3+2a2

的值為12+6

3

．

點評：本題考查了分式的化簡求值，一元二次方程的解的定義，分式的化簡求值，關(guān)鍵在于把所求代數(shù)式的分子分母分解因式，此題用到立方和公式，也是本題的難點．