Question

17．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠C=60°，AD是⊙O的直徑，Q是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BQ=AB．
（1）求證：BQ是⊙O的切線；
（2）若AQ=6．
①求⊙O的半徑；
②P是劣弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥AB，EF分別交CA、CB的延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn)，連接OP，當(dāng)OP和AB之間是什么位置關(guān)系時(shí)，線段EF取得最大值？判斷并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周等于圓心角的一半，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，可求∠OBQ=90°；
（2）①設(shè)出半徑，表示出OQ，運(yùn)用三角函數(shù)建立方程即可求解；
②過點(diǎn)C作CH⊥EF，垂足為H，交AB于點(diǎn)K，推理出“EF隨著HK的增大而增大，當(dāng)HK取最大值時(shí)，EF取最大值”即可求解．

解答 解：如圖1，

（1）連接OB，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵BQ=AB，
∴∠Q=∠OAB=30°，
∴∠ABQ=120°，
∴∠OBQ=90°，
∴BQ是⊙O的切線；
（2）①設(shè)圓的半徑為r，則OQ=6-r，
由（1）知，∠Q=30°，∠OBQ=90°，
∴$\frac{OB}{OQ}$=sin30°=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{r}{6-r}$=$\frac{1}{2}$，
解得：r=2；
②如圖2，

當(dāng)OP垂直平分AB時(shí)，線段EF取得最大值；
理由如下：
由（1）知，AQ=6，∠Q=∠BAQ=30°，
可求AB=$2\sqrt{3}$，
過點(diǎn)C作CH⊥EF，垂足為H，交AB于點(diǎn)K，
∵EF∥AB，
∴CK⊥AB，△ABC∽△EFC，
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{CK}{CH}$，
∴EF=$\frac{AB•CH}{CK}$=$2\sqrt{3}$×$\frac{CK+HK}{CK}$=$2\sqrt{3}$+$2\sqrt{3}$•$\frac{HK}{CK}$，
易知：CK是定值，所以，EF隨著HK的增大而增大，
當(dāng)HK取最大值時(shí)，EF取最大值，
∴當(dāng)點(diǎn)P為劣弧AB的中點(diǎn)時(shí)，HK最大，此時(shí)OP垂直平分AB．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查圓的綜合問題，會(huì)證明圓的切線，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問題，熟悉等腰三角形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用，會(huì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．