Question

如圖所示，已知直線y=-

1

2

x與拋物線y=-

1

4

x2+6交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；  
（2）求出△ABC的面積；
（3）在AB段的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線y=-

1

2

x與拋物線y=-

1

4

x²+6交于A、B兩點(diǎn)，可得方程-

1

2

x=-

1

4

x²+6，解方程即可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）首先由點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，又由S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC即可求得答案；
（3）首先過點(diǎn)P作PD∥OC，交AB于D，然后設(shè)P（a，-

1

4

a²+6），即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得PD的長，又由S_△ABP=S_△BDP+S_△ADP，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法，即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線y=-

1

2

x與拋物線y=-

1

4

x²+6交于A、B兩點(diǎn)，
∴-

1

2

x=-

1

4

x²+6，
解得：x=6或x=-4，
當(dāng)x=6時，y=-3，
當(dāng)x=-4時，y=2，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（6，-3），（-4，2）；

（2）∵點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），
∴S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC=

1

2

×6×4+

1

2

×6×6=30；

（3）存在．
過點(diǎn)P作PD∥OC，交AB于D，
設(shè)P（a，-

1

4

a²+6），
則D（a，-

1

2

a），
∴PD=-

1

4

a²+6+

1

2

a，
∴S_△ABP=S_△BDP+S_△ADP=

1

2

×（-

1

4

a²+6+

1

2

a）×（a+4）+

1

2

×（-

1

4

a²+6+

1

2

a）×（6-a）=-

5

4

（a-1）²+

125

4

（-4＜a＜6），
∴當(dāng)a=1時，△ABP的面積最大，
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

23

4

）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，三角形面積的求解以及二次函數(shù)的最值問題等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．