Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，D是BC上任意一點，過點D作DE⊥AB于E，F(xiàn)是AD的中點，連接CF、EF、CE，求證：△CEF是正三角形．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等邊三角形的判定

專題：證明題

分析：利用直角三角形斜邊上的中線得到CF=EF=

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AD；然后由等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角定理和已知條件推知∠EFC=60°，則證得結(jié)論．

解答：證明：如圖，∵∠ACB=90°，DE⊥AB，F(xiàn)是AD的中點，
∴CF=AF=

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AD，EF=AF=

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AD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，CF=EF．
又∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，∠CAB=30°，
∴∠5+∠6=2（∠1+∠4）=2∠CAB=60°，即∠EFC=60°，
∴△CEF是正三角形．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線和等邊三角形的判定．注意三角形外角定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用．