Question

18．如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在函數(shù)y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）的圖象上運(yùn)動，PM丄x軸于點(diǎn)M，PN丄y軸于點(diǎn)N，線段PM、PN分別與直線AB：y=-x+1交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求AF•BE的值．

Answer 1

分析 由點(diǎn)P（a，$\frac{1}{2a}$），求出點(diǎn) F、E坐標(biāo)，然后利用勾股定理用a表示AF，BE，即可求出AF•BE．

解答 解：作FG⊥x軸，
∵P的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{2a}$），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），
∴BN=1-$\frac{1}{2a}$，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-$\frac{1}{2a}$，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），
同理可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，1-a），
∴AF²=（1-1+$\frac{1}{2a}$）²+（$\frac{1}{2a}$）²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$•2a²=1，即AF•BE=1．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是通過反比例函數(shù)上的點(diǎn)P來確定E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而通過坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式得出所求的值．