Question

3．如圖，在Rt△ABC中，△ACB=90°，點(diǎn)0在BC上，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的⊙O剛好與AB相切，交OB于點(diǎn)D，若BD=1，tan∠AOC=2，則⊙O的面積是（　�。�

• A． π
• B． 2π
• C． $\frac{9}{4}$π
• D． $\frac{16}{9}$π

Answer 1

分析 設(shè)圓的半徑為r，即OC=OE=OD=r，根據(jù)tan∠AOC=2表示出AC、AE，在RT△BOE中求出BE=$\sqrt{1+2r}$，在RT△ABC中，根據(jù)AC²+BC²=AB²列出關(guān)于r的方程求得r，進(jìn)而可求得圓的面積．

解答 解：記⊙O與AB的切點(diǎn)為E，連接OE，則∠OEB=90°，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OD=OE=r，
∵∠ACB=90°，tan∠AOC=2，
∴AC=OC•tan∠AOC=2r，
又∵AC與AB均與⊙O相切，
∴AE=AC=2r，
在RT△BOE中，∵BD=1，OD=OE=r，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{（1+r）^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{1+2r}$，
在RT△ABC中，∵AC²+BC²=AB²，
∴（2r）²+（1+2r）²=（2r+$\sqrt{1+2r}$）²，
解得：r=$\frac{3}{2}$或r=-$\frac{1}{2}$（舍），
則S_⊙O=π•（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$π，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查切線的性質(zhì)及切線長定理、勾股定理等，熟練掌握切線的性質(zhì)及定理表示出所需線段的長是解題的根本，靈活運(yùn)用勾股定理求出半徑是本題的關(guān)鍵．