Question

如圖，在某氣象站M附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于氣象站M的東偏南θ方向100千米的海面P處，并以20千米/小時(shí)的速度向西偏北45°方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為20千米，并以10千米/小時(shí)的速度不斷增大，已知cosθ=，問：
（1）臺(tái)風(fēng)中心幾小時(shí)移到氣象站M正南N處，此時(shí)氣象站M是否受臺(tái)風(fēng)侵襲？
（2）幾小時(shí)后該氣象站開始受臺(tái)風(fēng)的侵襲？

Answer 1

【答案】分析：（1）延長MN交PQ于點(diǎn)A，用三角函數(shù)的定義可求出AM的長，由于∠APN=45°，故AN=AP=10．MN=70-10=60，PN=10=20．根據(jù)路程，速度，時(shí)間的關(guān)系即可求解．
（2）設(shè)經(jīng)t小時(shí)后該氣象站開始受臺(tái)風(fēng)侵襲，且此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B處，連接BM，作BQ⊥PQ，BD⊥AM，垂足分別為Q，D，則PB=20t，BM=20+10t．用三角函數(shù)的定義用含t的代數(shù)式分別表示BD、MD，再在直角三角形BDM中運(yùn)用勾股定理即可求出t的值．
解答：解：（1）延長MN交PQ于點(diǎn)A．
在Rt△MPA中，∵∠MPA=θ，MP=100，
∴AP=MP•cosθ=100×=10，
AM===70．
∵∠APN=45°，∠NAP=90°，
∴∠APN=∠ANP=45°，
∴AN=AP=10．
∴MN=AM-AN=70-10=60．
PN=AN=10=20．
∴t=20÷20=1．
臺(tái)風(fēng)半徑r=20+10×1=30＜60．
答：臺(tái)風(fēng)中心1小時(shí)移動(dòng)到氣象站M正南N處，此時(shí)氣象站M不受臺(tái)風(fēng)侵襲．

（2）設(shè)經(jīng)t小時(shí)后該氣象站開始受臺(tái)風(fēng)侵襲，且此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B處．
連接BM，作BQ⊥PQ，BD⊥AM，垂足分別為Q，D．
由題意知，PB=20t，BM=20+10t．
PQ=BQ=PB•sin45°=10t．
∴BD=QP-AP=10t-10，MD=AM-BQ=70-10t．
由BD²+DM²=BM²，得（10t-10）²+（70-10t）²=（20+10t）²．
整理，得t²-12t+32=0，
解得t₁=4，t₂=8（不合題意，舍去）．
答：4小時(shí)后該氣象站開始受臺(tái)風(fēng)侵襲．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道生活聯(lián)系實(shí)際的題目，在解答此類題目時(shí)要注意構(gòu)造出直角三角形，把一般三角形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)解答．