Question

(12分)已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五個點(diǎn)，拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)經(jīng)過其中的三個點(diǎn)．

(1)求證：C、E兩點(diǎn)不可能同時在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上；

(2)點(diǎn)A在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上嗎？為什么？

(3)求a和k的值．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)證明：用反證法。假設(shè)C(－1，2)和E(4，2)都在拋物線y＝a(x－1)²＋k

(a＞0)上，聯(lián)立方程                     ，

         解之得a＝0，k＝2。這與要求的a＞0不符。

               ∴C、E兩點(diǎn)不可能同時在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上。

            (2)點(diǎn)A不在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上。這是因為如果點(diǎn)A在拋物線上，則k＝0。B(0，－1)在拋物線上，得到a＝－1，D(2，－1)在拋物線上，得到a＝－1，這與已知a＞0不符；而由(1)知，C、E兩點(diǎn)不可能同時在拋物線上。

            因此點(diǎn)A不在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上。

             (3)綜合(1)(2)，分兩種情況討論：

    ①拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)經(jīng)過B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三個點(diǎn)，

           a(0－1)²＋k＝－1

 聯(lián)立方程  a(－1－1)²＋k＝2， 

           a(2－1)²＋k＝－1

      解之得a＝1，k＝－2。

  ②拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)經(jīng)過B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三個點(diǎn)，

           a(0－1)²＋k＝－1

 聯(lián)立方程  a(2－1)²＋k＝－1，

           a(4－1)²＋k＝2

     解之得a＝，k＝。

因此，拋物線經(jīng)過B、C、D三個點(diǎn)時，a＝1，k＝－2。拋物線經(jīng)過B、D、E三個點(diǎn)時，

a＝，k＝。

【解析】略