Question

已知：對于實數(shù)a，只有一個實數(shù)值x滿足等式

x+1

x-1

+

x-1

x+1

+

2x+a+2

x2-1

=0，試求所有這樣的實數(shù)a的和．

Answer 1

分析：方程兩邊都乘以最簡公分母（x+1）（x-1）把分式方程化為整式方程，再求出根的判別式△，然后分①△=0時，方程有兩個相等實數(shù)根，②△＞0時，方程有有一個根是分式方程的增根，另一個根不是方程的增根，分別求出a的值，然后相加即可得解．

解答：解：方程兩邊都乘以（x+1）（x-1）得，（x+1）²+（x-1）²+2x+a+2=0，
整理得，2x²+2x+a+4=0，①
△=b²-4ac=2²-4×2×（a+4）=-8a-28，
（1）當方程①有兩個相等的實數(shù)根時，△=0，
即-8a-28=0，
解得a₁=-

7

2

，
此時方程①有一個根x=-

1

2

，驗證可知x=-

1

2

的確滿足題中的等式，
（2）當方程①有兩個不相等的實數(shù)根時，△＞0，
即-8a-28＞0，
解得a＜-

7

2

，
（i）若x=1是方程①的根，則原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，
解得a₂=-8，
此時方程①的另一個根x=-2，它的確也滿足題中的等式；
（ii）若x=-1是方程①的根，則原方程有增根x=-1，代入①得，2-2+a+4=0，
解得a₃=-4，
此時方程①的另一個根x=0，驗證可知x=0的確滿足題中的等式；
因此a₁=-

7

2

，a₂=-8，a₃=-4即為所求，
a₁+a₂+a₃=-

7

2

-8-4=-

31

2

．
故答案為：-

31

2

．

點評：本題考查了分式方程的增根，根的判別式，難點在于把分式方程化為一元二次方程后，分式方程有一個根，則一元二次方程可以有兩個相等的實數(shù)根或有一個根是分式方程的增根，另一個不是分式方程的增根兩種情況討論求解．