Question

“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個著名的問題，但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”．下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=的圖象交于點P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點R．分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：
（1）設(shè)P（a，）、R（b，），求直線OM對應(yīng)的函數(shù)表達式（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（2）分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB；
（3）應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論，你如何三等分一個鈍角（用文字簡要說明）．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，P（a，）、R（b，）．
則M（b，），
∴k=÷b=．
∴直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=x．

（2）∵Q的坐標(biāo)（a，），滿足y=x，
∴點Q在直線OM上．
∵四邊形PQRM是矩形，
∴SP=SQ=SR=SM=PR．
∴∠SQR=∠SRQ．
∵PR=2OP，
∴PS=OP=PR．
∴∠POS=∠PSO．
∵∠PSQ是△SQR的一個外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．
∴∠POS=2∠SQR．
∵QR∥OB，
∴∠MOB=∠SQR．
∴∠POS=2∠MOB．
∴∠MOB=∠AOB．

（3）①先做出鈍角的一半，按照上述方法先將此鈍角的一半（銳角）三等分，進而做出再做一個角與已做得的角相等即可得到鈍角的三等分角．
②先作鈍角的鄰補角的三等分角，然后再以得到的三等分角作等邊三角形可得鈍角的三等分角，在鈍角內(nèi)作做出這個角即可．
分析：（1）直線OM是正比例函數(shù)，可利用所給的坐標(biāo)得到M的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)所給的點的坐標(biāo)得到Q的坐標(biāo)，看是否符合（1）中的函數(shù)解析式；運用矩形的性質(zhì)，作圖過程中的條件，外角與不相鄰內(nèi)角的關(guān)系，即可得證；
（3）既然能作出銳角的三等分角，先將此鈍角的一半（銳角）三等分，再作鈍角的三等分角．
點評：過某個點，這個點的坐標(biāo)應(yīng)適合這個函數(shù)解析式．注意使用作圖過程中利用的條件．